Parseval 恒等式的一个短证明

在 $L^2[-\pi ,\pi ]$ 上，函数系

$${\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi }},\frac{\cos nx}{\sqrt{\pi }},\frac{\sin nx}{\sqrt{\pi }}\right\}}_{n\ge 1}$$

是一组标准正交基。所谓 Parseval 恒等式，说的是对任意 $f\in L^2[-\pi ,\pi ]$，

$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|f(x){|}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中 $a_n,b_n$ 是通常的傅里叶系数。

为什么它显然是”勾股定理”

把 $f$ 看成希尔伯特空间里的一个向量，$\{e_k\}$ 是一组标准正交基。令 $c_k=⟨f,e_k⟩$，那么

$${\Vert f-\sum _{k=1}^N{c}_k{e}_k\Vert }^2=\Vert f{\Vert }^2-\sum _{k=1}^N|c_k{|}^2\text{\hspace{1em}(2)}$$

这只是一次展开：交叉项因为正交性全部消失。于是 $\sum |c_k{|}^2\le \Vert f{\Vert }^2$，且等号成立当且仅当 $f$ 落在闭包内。

和 (1) 式的对应

把 $c_k=⟨f,e_k⟩$ 展开成三角形式，就得到 (1) 式的右边。系数前的 $\pi$ 来自基向量的归一化因子，而不是别的东西——这正是”正交基”与”正交系”的区别。

一个具体的检验

取 $f(x)=x$。则 $a_n=0$，$b_n=\frac{2(-1{)}^{n+1}}{n}$，于是

$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^{2}dx=\frac{2{\pi }^2}{3}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{4}{n^2}$$

两边同除 4 再乘 ${\pi }^2/6$，就得到熟悉的 $\sum 1/n^2={\pi }^2/6$。

也就是说，巴塞尔问题的这个特例，是 Parseval 恒等式的一个直接推论。